高数

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指数

次方根

一般的,如果$x^n=a$,那么x叫做a的n次方根,其中$n\gt 1,n\in N^*$

当$n$是奇数时,正数的$n$次方根是一个正数,负数的$n$次方根是一个负数

当$n$是偶数时,正数的$n$次方根有两个,这两个数互为相反数.这时,正数$a$的正的$n$次方根用符号$\sqrt[n] {a}$表示,负的$n$次方根用符号$-\sqrt[n]{a}$表示.正的$n$次方根负的$n$次方根可以合并成$\pm \sqrt[n]{a}$.

根式 根指数被开方数

式子$\sqrt[n]{a}$叫做根式,这里$n$叫做根指数,$a$叫做被开方数

分数指数幂

正数的正分数指数幂

数的正分数指数幂的意义是
$$
a^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{a^m}(a\gt 0,m,n\in N^*,且n\gt 1)
$$

正数的负分数指数幂

数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿

$$
a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{a^\frac{m}{n}}(a\gt 0,m,n\in N^*,且n\gt 1)
$$

0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.

运算性质

  1. $a^ra^s=a^{r+s}(a\gt 0, r,s\in Q)$
  2. $(a^r)^s=a^{rs}(a\gt 0, r,s\in Q)$
  3. $(ab)^r=a^rb^r(a\gt 0,b\gt 0, r\in Q)$

无理数指数幂

无理数指数幂$a^a(a\gt 0,a是无理数)$,是一个确定的实数.有理数的运算性质同样适用于无理数指数幂

指数函数及其性质

函数$y=a^x(a>0, 且a\neq 1)$叫做指数函数,其中$x$是自变量,函数的定义域是$R$

对数

如果$a^x=N(A\gt0,且a\neq1)$,那么数$x$叫做以$a$为底$N$的对数,记作

$$
x=\log_aN
$$
其中$a$叫做对数的底数,$N$叫做真数

常用对数 自然对数

通常我们将以$10$为底的对数叫做常用对数,并且把$\log10N$记作$\lg N$.

在科学技术中通常使用无理数$e=2.71828$为底数的对数,以$e$为底数的对数称为自然对数,并且把$\log_eN$记作$\ln N$.

对数与指数间的关系

当$a\gt0,a\neq1$时,$a^x=N\Leftarrow\Rightarrow x=\log_aN$.

由指数和对数的关系,可以得到关于对数的一下结论

  • 负数和0没有对数
  • $\log_a1=0$
  • $log_aa=1$

对数的运算

$$
由于 a^m\cdot a^n=a^{m+n} \\
设 M=a^m, N=a^n \\
于是MN=a^{m+n} \\
由对数的定义得到 \\
\log_aM=m, \log_aN=n \\
\log_a(M\cdot N)=m+n \\
\log_a(M\cdot N)=\log_aM+\log_aN
$$

  • 易推导出对数的运算性质

$$
如果a\gt0,且a\neq1,M\gt0,N\gt0,那么: \\
(1) \log_a(M\cdot N)=\log_aM+\log_aN \\
(2) \log_a\frac{M}{N}=\log_aM-\log_aN \\
(3) \log_aM^n=n\log_aM(n\in R)
$$

对数函数及其性质

一般的,我们把函数$y=\log_ax(a\gt0,且a\neq1)$叫做对数函数;其中$x$是自变量,函数的定义域是$(0,+\infty)$

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